例1：弦长问题与几何性质（勾股定理的应用）

题目

在平面直角坐标系中，直线 l: y = k(x + 1) 与圆 C: (x − 1)² + (y − 1)² = 5 交于 A、B 两点。若弦长 |AB| = 2√2，则 k 的值为（ ）

1. A. 2 ± √6
2. B. 1
3. C. 2
4. D. 1/2

解析与考点

1. 1. 确定圆的参数

   由 (x − 1)² + (y − 1)² = 5 得圆心 C(1, 1)，半径 R = √5。

2. 2. 构造直角三角形（垂径定理）

   半弦、圆心到直线的距离 d 与半径构成直角三角形：d² + (|AB| / 2)² = R²。

3. 3. 计算距离 d

   半弦长为 2√2 / 2 = √2。代入得 d² + (√2)² = (√5)²，即 d² + 2 = 5，所以 d² = 3，d = √3。

4. 4. 用点到直线距离公式求 k

   直线化为 kx − y + k = 0。点 C(1, 1) 到直线的距离 d = |k − 1 + k| / √(k² + 1) = |2k − 1| / √(k² + 1)。令其等于 √3，两边平方得 (2k − 1)² / (k² + 1) = 3，即 4k² − 4k + 1 = 3k² + 3，整理得 k² − 4k − 2 = 0，解得 k = 2 ± √6。

答案：A. 2 ± √6