例1：直线与圆的位置关系

题目

已知直线 l: x − y + a = 0 与圆 C: (x − 1)² + (y − 1)² = 2 相切，则实数 a 的值为（ ）

1. A. 2 或 −2
2. B. √2 或 −√2
3. C. 0 或 2
4. D. 0 或 −2

解析与考点

1. 1. 识别圆的参数

   从方程 (x − 1)² + (y − 1)² = 2 中直接读出圆心 C(1, 1)，半径 r = √2。

2. 2. 利用切线性质

   直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离 d 等于半径 r。

3. 3. 套用距离公式

   点 C(1, 1) 到直线 x − y + a = 0 的距离 d = |1 − 1 + a| / √(1² + (−1)²) = |a| / √2。

4. 4. 列式计算

   令 |a| / √2 = √2，解得 |a| = 2，即 a = ±2。

答案：A. 2 或 −2